一、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE，求BE的长度。
  
二、如图，在△ABC中，∠C =90°，点P在AC上，点D在AB上。PD=PA,，BD的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。
(1)求证：DE⊥DP
(2)若AC =3，BC=4，PA=1，求线段DE的长。
   
三、如图，在△ABC中，AB=AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F。
(1)求证：△ADF是等腰三角形;
(2)若AD=13，BE=5，点F为AB的中点，求EF和DF的长。
    
一、【谭老师解析】：无需求出AB的长度，只要根据垂直平分线性质(BE=AE)，在直角△BCE中用勾股定理即可求出。
         
    解：先设CE为x
        ∵  BE=AE (DE是垂直平分线)
              AE=AC+CE
        ∴BE=AC+x
       即 BE=3+x
        在Rt△BCE中
         BE²=BC²+CE²
即 (3+x)²=4²+x²
              x=7/6
          BE=3+7/6 (BE=AC+x)
               =25/6

二、(1)∵PD=PA     (已知)
           ∴∠A=∠D左  (等腰三角形)
            ∵ED=EB    (EF垂直平分DB)
        ∴∠D右=∠B    (△DEB等腰三角形底角相等)
          ∵∠A+∠B=90°    (直角三角形ABC中)
             ∴∠D左=∠D右
           ∴∠D中=90°     (180°平角减去90°可知)
               ∴PD⊥ED

(2)连接PE
∵AC=3 PA=PD=1
∴PC=2
设BE为x，则CE为4—x
△PEC中
    PE²=2²+(4-x)² (勾股定理)
△PDE中
   PE²=1²+x²        (勾股定理)
综上2²+(4-x)²=1²+x²
     x=19/8
∴DE=19/8
而且由(1)知，ED=BE
     ∴DE=19/8
  
三、(1)∵∠B=∠C (已知条件)
∠B+∠BFE=90° (△BFE中)
∠C+∠D=90° (△DEC中)
∴∠BFE=∠D
又∵∠BFE=∠DFA (对顶角)
∴∠DFA=∠D
∴△ADF是等腰三角形。

(2)①∵AD=AF=13 (已证)
        ∴BF=13 (F为AB的中点)
         Rt△BFE中
            EF²+BE²=BF²
         即 EF²+5²=13²
                     EF=12

② 作AH⊥DF，潜龙家教谭老师讲解如下：先用AAS证明△AHF≌△BEF，得出对应边HF=FE，即HF=12，再根据等腰三角形三线合一得出：H也是中点(线)，所以DH=HF。那么DF的长度就求出来了，证明过程略！